专题05 难点探究专题：二次函数中求线段最值问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

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2023-2024学年九年级数学下册常考压轴题

专题05难点探究专题：二次函数中求线段最值问题

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________

【典型例题】

【考点一 利用二次函数求单线段最值问题】

例题：（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线F₁：y=-x²+5，抛物线F₂与F₁关于点（1,0）中心对称，F₁与F₂相交于A，B两点，点M在抛物线F₁上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线F₂上，也位于点A和点B之间，且MN⊥x轴．

（1）求抛物线F₂的表达式；

（2）求线段MN长度的最大值。

【变式训练】

1．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-(x-m)²+m²的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交AB于点M，Q，直线PM交x轴于点N．  

（1）若点P在y轴的左侧，且N为PM中点，求抛物线的解析式；

（2）求线段PQ长的最小值，并求出当PQ的长度最小时点P的坐标；

（3）若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且PN＞MN，求m的取值范围。

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参考答案

【典型例题】

【考点一 利用二次函数求单线段最值问题】

例题：（1）y=(x-2)²-5；（2）8

【分析】（1）先求出抛物线F₁：y=-x²+5的顶点坐标为(0,5)，然后求出点(0,5)关于(1,0)对称后的点坐标为(2,-5)，再抛物线F₂的解析式为：y=(x-2)²-5；

（2）先求出A、B两点横坐标分别为-1和3，设M(a,-a²+5)，N[(a,(a-2)²-5)]其中-1＜a＜3，则MN=-2（a-1）²+8，求出最大值即可．

【详解】（1）解：抛物线F₁：y=-x²+5的顶点坐标为(0,5)，点(0,5)关于(1,0)对称后的点坐标为(2,-5)。

∵抛物线F₂与抛物线F₁关于(1,0)成中心对称，∴抛物线F₂的解析式为：y=(x-2)²-5。

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