9.10 因式分解的应用及材料阅读题（重难点培优）-苏科版七年级下册数学第9章《整式的乘法与因式分解》尖子生同步培优（附答案解析）

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专题9.10因式分解的应用及材料阅读题（重难点培优）

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1．如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）．

（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是　　．

①a²+ab＝a（a+b）②a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²③a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）

（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：

①已知4x²﹣9y²＝12，2x+3y＝4，求2x﹣3y的值；

②计算（1）×（1）×（1）×（1）×…×（1）．

2．如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．

（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；

（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推出2a²+3ab+b²因式分解的结果；

（3）请你用拼图等方法推出3a²+5ab+2b²因式分解的结果，画出你的拼图．

3．已知：x+y＝5，（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．求下列代数式的的值．

（1）xy；

（2）x²+4xy+y²；

（3）x²+xy+5y．

4．装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若干块，A型板材规格是a×b，B型板材规格是b×b．现只能购得规格是150×b的标准板材．（单位：cm）

（1）若设a＝60cm，b＝30cm．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．

则表中，m＝　　，n＝　　；

（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是a×a，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式：　　；

（3）若给定一个二次三项式2a²+5ab+3b²，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量）

5．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）²＝a²+2ab+b²，基于此，请解答下列问题：

（1）根据图2，写出一个代数恒等式：　　．

（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a²+b²+c²＝　　．

（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（3a+b）（a+3b）长方形，则x+y+z＝　　．

【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　　．

6．我们知道形如x²+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），

所以x²+6x﹣7＝x²+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．

但小白在学习中发现，对于x²+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．

x²+6x﹣7＝x²+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）²﹣16＝（x+3）²﹣4²

＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．

这种在二次三项式x²+6x﹣7中先加上9，使它与x²+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．

（1）请使用小白发现的方法把x²﹣8x+7分解因式；

（2）填空：x²﹣10xy+9y²＝x²﹣10xy+　　+9y²﹣　　＝（x﹣5y）²﹣16y²

＝（x﹣5y）²﹣（　　）²＝[（x﹣5y）+　　][（x﹣5y）﹣　　]

＝（x﹣y）（x﹣　　）；

（3）请用两种不同方法分解因式x²+12mx﹣13m²．

7．如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：

（1）a²b+ab²；

（2）a²+b²+ab．

8．已知a，b．c为三角形ABC的三边，且满足a²+2b²+c²﹣2b（a+c）＝0，试判断三角形ABC的形状．

9．若一个四位数A满足：①千位数字²﹣百位数字²＝后两位数，则称A为“美妙数”．

例如：∵6²﹣1²＝35，∴6135为“美妙数”．

②7×（千位数字﹣百位数字）＝后两位数，则称A是“奇特数”．

例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521为“奇特数”．

（1）若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是　　．

若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是　　．

（2）一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为m，百位数字均为n，且这个“美妙数”比“奇特数”大14，求满足条件的“美妙数”．

10．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（1+x）+x（1+x）²

＝（1+x）[1+x+x（1+x）]

＝（1+x）²（1+x）

＝（1+x）³．

（1）上述分解因式的方法是　　，共应用了　　次．

（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）²⁰²⁰，则需应用上述方法　　次，结果是　　．

（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）ⁿ（必须写出解答过程）．

11．若一个三位数m（其中x，y，z不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M（m）．例如537，重排后得到357，375，753，735，573，所以537的差数M（537）＝753﹣357＝396．

（1）若一个三位数t（其中b＞a＞c且abc≠0），求证：P（t）能被99整除．

（2）若一个三位数m，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m被4除余1，求所有符合条件的M（m）的最小值．

12．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）²＝a²+2ab+b²．

请解答下列问题：

（1）写出由图②可以得到的数学等式　　；

（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a²+b²+c²＝14，求ab+bc+ac的值；

（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝　　．

13．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2a²+3ab+b²＝（2a+b）（a+b）．

（1）若解释因式分解3a²+4ab+b²＝（a+b）（3a+b），需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；

（2）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为5a²+mab+b²，则m的值为　　，将此多项式分解因式为　　．

（3）有3张A类，4张B类，5张C类卡片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为　　．

14．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，华师中山附中以实施百书计划为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．

（1）直接写出：最大的“和平数”是　　．

（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”．

设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为：“和平数”值　　，“相关和平数”值是　　．

求证：任意的两个“和平数”与“相关和平数”之和是1111的倍数．

（3）求同时满足下列条件的所有“和平数”：

①个位上的数字是千位上的数字的两倍；

②百位上的数字与十位上的数字之和是12．

15．阅读下列材料：

已知a²+a﹣3＝0，求a²（a+4）的值．

解：∵a²＝3﹣a

∴a²（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a²﹣4a＝﹣a²﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9

∴a²（a+4）＝9

根据上述材料的做法，完成下列各小题：

（1）若a²﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为　　．

（2）若x²+4x﹣1＝0，求代数式2x⁴+8x³﹣4x²﹣8x+1的值．

16．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．

①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．

例如：x²﹣2xy+y²﹣4＝（x²﹣2xy+y²）﹣4＝（x﹣y）²﹣2²＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．

②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．

例如：x²+2x﹣3＝x²+2x+1﹣4＝（x+1）²﹣2²＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）

③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．

例如：x²+6x﹣7

分析：

观察得出：两个因式分别为（x+7）与（x﹣1）

解：原式＝（x+7）（x﹣1）

（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：

①（分组分解法）4x²+4x﹣y²+1

②（拆项法）x²﹣6x+8

③x²﹣5x+6＝　　．

（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a²+b²+c²﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．

17．中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．

定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．

例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．

（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；

（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．

18．根据阅读材料，解决问题．

材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）．

材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数A规定一个运算：K（A）＝x²+y²+z²，

例如：A＝191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2．则K（191）＝2²+8²+2²＝72．

请解答：

（1）请你直接写出最大的两位对称数：　　，最小的三位对称数：　　；

（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数　　；

（3）一个四位的“对称数”B，若K（B）＝8，请求出B的所有值．

19．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是优雅数．如33，262，45654都是优雅数，最小的优雅数是11，但没有最大的优雅数，因为数位是无穷的．

（1）若将任意一个四位优雅数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除；

（2）设一个三位优雅数为（a+b＜10）与各数位上数字之和的差能被11整除，且该优雅数与11相乘后得到一个四位数，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位优雅数．

20．在数的学习过程中，一些具有某种特性的数总能引起人们的注意，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“美数”．

定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之和被十位数字除后余2，则称这个自然数n为“美数”．

例如：365是“美数”，因为3，6，5都不为0，且3+5＝8，8被6除余2；

158不是“美数”，因为1+8＝9，9被5除余4．

（1）判断：779　　“美数”，436　　“美数”（填“是”或“不是”）；

（2）400以内，个位数字比百位数字大5的所有“美数”为　　；

（3）求出十位数字为5且被3整除的所有“美数”．

参考答案

1．（1）　③　．

【分析】（1）根据图①的面积等于图②的面积列出等式便可；

（2）①运用前面得到的平方差公式进行解答便可；

②运用平方差公式解答便可．

【解析】（1）图①的面积可表示为a²﹣b²，

图②的面积可表示为（a+b）（a﹣b），

∵图①的面积＝图②的面积，

∴上述操作能验证的等式是：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），

故答案为③；

（2）①∵4x²﹣9y²＝12，

∴（2x+3y）（2x﹣3y）＝12，

∵2x+3y＝4，

∴2x﹣3y＝12÷4＝3；

②（1）×（1）×（1）×（1）×…×（1）＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）．

2．【分析】（1）从整体和部分两个方面进行计算即可；

（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得答案；

（3）利用图形面积法，可以拼成长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形．

【解析】（1）从整体上看，图1是边长（a+b）的正方形，其面积为（a+b）²，

各个部分的面积之和：a²+2ab+b²；

（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得，2a²+3ab+b²＝（a+b）（2a+b）；

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