9.9 以乘法公式为背景的综合问题（重难点培优）-苏科版七年级下册数学第9章《整式的乘法与因式分解》尖子生同步培优（附答案解析）

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专题9.9以乘法公式为背景的综合问题（重难点培优）

姓名：________ 班级：________得分：________

1．（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的等式表示）　　．

（2）若（3x﹣2y）²＝5，（3x+2y）²＝9，求xy的值；

（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．

2．完全平方公式：（a±b）²＝a²±2ab+b²适当的变形，可以解决很多的数学问题．

例如：若a+b＝3，ab＝1，求a²+b²的值．

解：因为a+b＝3，ab＝1

所以（a+b）²＝9，2ab＝2

所以a²+b²+2ab＝9，2ab＝2

得a²+b²＝7

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）若x+y＝8，x²+y²＝40，求xy的值；

（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）²+x²＝　　；

②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）²+（5﹣x）²＝　　；

（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S₁+S₂＝18，求图中阴影部分面积．

3．（2020春•淮安区期末）乘法公式的探究及应用．

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）²，a²+b²，ab之间的等量关系．　　；

（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片　　张．

（3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a²+b²＝13，求ab的值．

4．有两根同样长的铁丝．

（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．

①若其中长方形的长为5cm，宽为3cm，则正方形的边长为　　cm；

②设其中长方形的长为xcm，宽为ycm，则正方形的边长为　　cm（用含x、y的代数式表示）；

③若长方形的长比宽多acm，用含a的代数式表示正方形面积与长方形面积的差S（写出过程）；

（2）将其中一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形拼成如图所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠），若铁丝总长为28cm，两个正方形面积和为25cm²，则阴影部分面积为　　cm²．

5．（2020春•东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．

如，可以把公式“（a+b）²＝a²+2ab+b²”变形成a²+b²＝（a+b）²﹣2ab或2ab＝（a+b）²﹣（a²+b²）等形式，运用于下面这个问题的解答：

问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）²+（x﹣30）²的值．

我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）²+（x﹣30）²＝a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝（﹣10）²﹣2×10＝80．

请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：

（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）²+（x﹣70）²的值为　　．

（2）若x满足（2020﹣x）²+（2017﹣x）²＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为　　．

（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．

6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）探究：上述操作能验证的等式是　　；（请选择正确的一个）

A．a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²B．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）C．a²+ab＝a（a+b）

（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①已知9x²﹣4y²＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；

②计算：．

7．乘法公式的探究及应用．

（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　　　（写成两数平方差的形式）；

（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　　，长是　　，面积是　　．（写成多项式乘法的形式）

（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　　．（用式子表达）

（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①10.3×9.7

②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

8．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是　　．（请选择正确的选项）

A．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）

B．a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²

C．a²+ab＝a（a+b）

（2）若x²﹣y²＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；

（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．

9．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是　　（请选择正确的一个）

A．a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²

B．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）

C．a²+ab＝a（a+b）

（2）若x²﹣9y²＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；

（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．

10．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）探究：上述操作能验证的等式是：　　（请选择正确的一个）．

A．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）B．a²+ab＝a（a+b）C．a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²

（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①已知4x²﹣9y²＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；

②计算：．

11．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　　．（用含a，b的等式表示）

【应用】请应用这个公式完成下列各题：

（1）已知4m²＝12+n²，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　　．

（2）计算：2019²﹣2020×2018．

【拓展】

计算：100²﹣99²+98²﹣97²+…+4²﹣3²+2²﹣1²．

12．【知识情景】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积．

（1）如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是　　．

【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．

（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为　　；

（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的恒等式求a³+b³的值．

13．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是　　；（请选择正确的一个）

A．a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²B．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）C．a²+ab＝a（a+b）

（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①已知x²﹣4y²＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．

②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．

14．（1）如图1，阴影部分的面积是　　．（写成平方差的形式）

（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是　　．（写成多项式相乘的积形式）

（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：　　．

（4）应用公式计算：（1）（1）（1）（1）…（1）（1）．

15．如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．

（1）画出拼好的长方形，并标注相应的数据；

（2）求拼好后长方形的周长；

（3）若a＝9，b＝3，求拼好后长方形的面积．

16．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）设图1中阴影部分面积为S₁，图2中阴影部分面积为S₂．请直接用含a，b的代数式表示S₁，S₂；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；

（3）试利用这个公式计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）+1．

17．如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积．

18．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的面积为　　；

（2）观察图2，三个代数式（m+n）²，（m﹣n）²，mn之间的等量关系是　　；

（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；

（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？

19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

①图2中的阴影部分的面积为　　；

②观察图2请你写出（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系是　　；

③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y，则（x﹣y）²＝　　；

④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．

如图3，你发现的等式是　　．

20．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？

（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．

方法1：　　

方法2：　　

（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）²，（m﹣n）²，mn．　　

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）²＝　　．

参考答案

1．（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的等式表示）　4xy＝（x+y）²﹣（x﹣y）²　．

（2）若（3x﹣2y）²＝5，（3x+2y）²＝9，求xy的值；

（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．

【分析】（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x﹣y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；

（2）将（3x﹣2y）²＝5，（3x+2y）²＝9，代入（1）中的等式可求解；

（3）将2x+y＝5，xy＝2，代入（1）中的等式可求解；

【解析】（1）4xy＝（x+y）²﹣（x﹣y）²；

（2）∵（3x+2y）²﹣（3x﹣2y）²＝24xy＝9﹣5，

∴xy；

（3）∵（2x+y）²﹣（2x﹣y）²＝8xy，

∴25﹣16＝（2x﹣y）²，

∴2x﹣y＝±3．

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