第02讲 一元二次方程的解法-2024年暑假新九年级上册数学预习精品讲义（苏科版）

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2024年暑假新九年级上册数学预习精品讲义

第02讲 一元二次方程的解法

1．会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.

2．运用开平方法解形如x²=p或（x+n）² =p （p≥0）的方程.

3．理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程.

4．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想. 

知识点1：直接开平方法

形如x²＝p或（nx+m）²＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

如果方程化成x²＝p的形式，那么可得x＝±；

如果方程能化成（nx+m）²＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．

③方法是根据平方根的意义开平方．

知识点2：配方法

（1）将一元二次方程配成（x+m）²＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax²+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。

要点诠释：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方。

（3）配方法的理论依据是完全平方公式a²±2ab+b²=（ab+b）²．

知识点3：配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小。

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

要点诠释：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．

题型1：用直接开平方法解一元二次方程

例1．方程x²＝4的解是（　　）

A．x₁＝x₂＝2              B．x₁＝x₂＝﹣2            C．x₁＝2，x₂＝﹣2     D．x₁＝4，x₂＝﹣4

【分析】根据直接开平方解方程即可．

【解答】解：直接开平方得：x＝±2，∴方程的解为：x₁＝2，x₂＝﹣2，故选：C．

【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

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参考答案

一、单选题

1．D

【分析】根据直接开方法求解即可。

【详解】解：x²-9=0，x²=9，

直接开方得：x₁=3，x₂=-3，故选：D．

【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握此方法是解题关键。

2．A

【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断。

【详解】解：方程移项得：x²-6x=8，配方得：x²-6x+9=8+9，即（x-3）²=17。

故选：A．

【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键。

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