【暑期衔接预习】专题03《有理数和无理数》-苏科版新七年级上册数学第2章《有理数》精编讲义

暑假新七年级数学衔接预习精编讲义

第2章《有理数》

专题03《有理数和无理数》

教学目标

1、理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念。

2、会判断一个数是有理数还是无理数。

新知引入

1、学校的图书馆馆藏书近20万册，可是图书管理员阿姨总能很快地将你要借的书找出来，你知道这是为什么吗？

2、我们小学学过哪些数？是怎样分类的？到了初中引入负数后，我们该如何区分各类数呢？

新课教授

1、如果要将分成两类，你会怎样分？是这怎样的两类？

2、如果再增加0.53,0.3两数，你还能分成这样的两类吗？

思考

小学里我们还学过有限小数和循环小数，他们是分数吗？

有限小数和无限循环小数都可以化为分数

总结：整数和分数统称___有理数 ___。

这种分类方法是按照_整数和分数原则来分类的。

概念总结

知识点1：有理数

我们把能够写成分数形式m/n（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数。

知识要点：

（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．

（2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数．

知识点2：无理数

1．定义： 

无限不循环小数叫做无理数。

知识要点：

（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．

（2）目前常见的无理数有两种形式：①含类．②看似循环而实质不循环的数，

　 　 　 　 　如：1.313113111……．  　 　 　 　 　 　 　 　 　

2．有理数与无理数的区别

（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．

（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能．

知识点3：循环小数化分数

1．定义：

如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．

2． 纯循环小数

从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、．．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．

　　例如 ，．

3． 混循环小数

如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、0.3456456…． 混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数。

知识要点：

（1）任何一个循环小数都可化为分数。

（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数。

典例分析

【典例分析01】下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（　　）

A．1个                      B．2个                       C．3个                      D．5个

【思路引导】根据在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还表示正数与负数的分界等，0既不是正数，也不是负数，0是偶数，但不是最小的整数，判断所给命题是否正确．

【完整解答】解：①在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还表示正数与负数的分界等，故①错误；

②整数包括正整数、负整数和0，故②错误；

③整数和分数统称为有理数，故③错误；

④整数包括正整数和负整数、0，因此0不是最小的整数，故错误；

⑤所有的分数都是有理数，因此正确；

综上，⑤正确，

故选：A．

【考察注意点】本题主要考查了有理数的分类等相关知识，特别注意：在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还表示正整数与负整数的分界等，0既不是整数，也不是负数，是偶数．

【典例分析02】设三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，也可以表示为0，，b的形式，则a²⁰²²+b²⁰²³的值等于 　2　．

【思路引导】根据题意可得，a+b＝0或a＝0，b＝1或＝1，再根据a为分母，所以a≠0，那只能是a+b＝0，然后再进行计算即可．

【完整解答】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，也可以表示为0，，b的形式，

∴这两个组的数分别对应相等，

∴a+b＝0或a＝0，b＝1或＝1，

又∵a≠0，

∴a+b＝0，

∴a＝﹣b，

∴＝﹣1，

∴≠1，

∴b＝1，

∴a＝﹣1，

∴a²⁰²²+b²⁰²³＝（﹣1）²⁰²²+1²⁰²³＝1+1＝2，

故答案为：2．

【考察注意点】本题考查了有理数，根据题意分析求出a，b的值是解题的关键．

举一反三

【变式训练01】定义：对于任意两个有理数a，b，可以组成一个有理数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．

根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对（2，﹣1）＝　         ；

（2）当满足等式（﹣5，3x+2m）＝5的x是正整数时，则m的正整数值为             　．

【变式训练02】黑板上有10个互不相同的有理数，小明说：“其中有6个整数”，小红说：“其中有6个正数”，小华说：“其中正分数与负分数的个数相等”，小林说：“负数的个数不超过3个”，请你根据四位同学的描述，判断这10个有理数中共有　1　个负整数．

…………