7.8 有关三角形的角的计算与证明（重难点培优）-苏科版七年级下册数学第7章《平面图形的认识（二）》尖子生同步培优（附答案解析）

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专题7.8有关三角形的角的计算与证明专题培优

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一．解答题（共20小题）

1．（2020春•仪征市期末）已知△ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．

（1）如图，当点P在△ABC内时，

①若y＝70，s＝10，t＝20，则x＝　　；

②探究s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．

（2）当点P在△ABC外时，直接写出s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．

2．（2020春•扬中市期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；

（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．

（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

3．（2019春•常熟市月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．

（1）填空：∠BIC＝　　°．

（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝　　°．

（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．

（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于　　度时，CE∥AB？

4．（2019春•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

5．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：

（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；

（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？

（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．

6．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．

7．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝50°，∠BDC＝70°，求∠BED的度数．

8．如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．

（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；

（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？

9．在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．

10．如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD＝BD，∠ADC＝80°．

（1）求∠B的度数；

（2）若∠BAC＝70°，判断△ABC的形状，并说明理由．

11．如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．

（1）求证EF∥BC；

（2）求∠1与∠2的度数．

12．如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．

（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝　　°；

（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；

（3）试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC＝　　．

13．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为　　；

（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．

①图中有　　个“8字形”；

②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；

（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，求∠P、∠B、∠D之间的数量关系．

14． Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝　　°；

（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．

（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为：　　．

15．（2020春•徐州期末）△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点P是平面内一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

初探：

（1）如图1，若点P在线段AB上运动，

①当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝　　°；

②∠α、∠1、∠2之间的关系为：　　．

再探：

（2）若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．

拓展：

（3）请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系：　　．

16．（2020春•淮安区期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．

（1）∠ABO的度数为　　°，△AOB　　．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；

（2）若∠BAC＝70°，则△AOC　　（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；

（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．

17．（2020春•常州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，

（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；

（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．

18．（2020春•宝应县期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．

①∠BAC＝　　°，∠DAE＝　　°；

②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；

（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．

19．（2020春•泰兴市校级期中）直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．

（1）如图1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．

20．（2020春•江阴市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．

（1）求证：∠AEF＝∠AFE；

（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．

参考答案

一．解答题（共20小题）

1．【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；

②结论：x＝y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；

（2）分6种情形分别求解即可解决问题；

【解析】（1）①∵∠BAC＝70°，

∴∠ABC+∠ACB＝110°，

∵∠PBA＝10°，∠PCA＝20°，

∴∠PBC+∠PCB＝80°，

∴∠BPC＝100°，

∴x＝100，

故答案为100．

②结论：x＝y+s+t．

理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB＝180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC＝180°，

∴∠A+∠PBA+∠PCA＝∠BPC，

∴x＝y+s+t．

（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：

如图1：s+x＝t+y；

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