专题07 角中的运动问题-备战2023-2024学年苏科版七年级数学上学期期末考试真题汇编

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专题07 角中的运动问题

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________

关键知识点：

1．角平分线：射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC叫做这个角的平分线

2．余角、补角

余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角

补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角

性质：●同角或等角的余角相等。●同角或等角的补角相等。

3．垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足。

4．垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简述为垂线段最短。

注：直线外一点到这条直线的垂线段只有一条。

5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

6．对顶角性质：对顶角相等

7．角的运动问题：解题策略：在某一时刻，利用角的位置（大小），建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解。

一、解答题

1．已知∠AOB=150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°．

（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=1/2∠BOD，求∠DOE的度数；

（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以每秒15°的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以每秒5°的速度逆时针旋转至OA结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值；

（3）若射线OM绕着O点从OA开始以每秒15°的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON-∠BOM在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段。（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）

2．如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）

（1）图中一定有　　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　　，∠BON的度数为　　；

（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；

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6．若A、O、B三点共线，∠BOC=40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠EDO=30）．

（1）如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则∠COE____________°；

（2）将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时∠COD=1/4∠AOE

，求运动时间t的值；

（3）将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过t秒后，直线OC恰好平分∠DOE，求t的值．

7．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为　　；

（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．

①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；

②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．

8．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．

（1）如图①，若∠AOB=155°，则∠DOC=_______°，∠DOC与∠AOB的关系是_______；

（2）如图②，固定三角板BOD不动，将三角板AOC绕点O旋转到如图所示位置．

①（1）中你发现的∠DOC与∠AOB的关系是否仍然成立，请说明理由；

②如图②，若∠BOC=70°，在∠BOC内画射线OP，设∠BOP=x°（0＜x＜50），探究发现随着x的值的变化，图中以O为顶点的角中互余角的对数也变化．请直接写出以O为顶点的角中互余角的对数有哪几种情况？并写出每一种情况相应的x的取值或取值范围．

9．如图（1），直线AB、CD相交于点O，直角三角板EOF边OF落在射线OB上，将三角板EOF绕点O逆时针旋转180°．

（1）如图（2），设∠AOE=n°，当OF平分∠BOD时，求∠DOF（用n表示）

（2）若∠AOC=40°，

①如图（3），将三角板EOF旋转，使OE落在∠AOC内部，试确定∠COE与∠BOF的数量关系，并说明理由．

②若三角板EOF从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为t，当∠AOE与∠DOF互余时，求t的值．

10．如图，直线AB、CD相交于点O，AB⊥CD，∠EOF=90°．

（1）若∠COE=30°，则∠BOF= __________．

（2）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线AB平分∠EOF．

（3）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O点逆时针旋转一周，如果射线OP是∠COE的角平分线，请直接写出此过程中∠AOP与∠BOF的数量关系．（不考虑OE与AB、CD重合的情况）

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参考答案

一、解答题

1．（1）35°；（2）t的值为3或7.5；（3）当0≤t≤2或4≤t≤12时，2∠BON-∠BOM为定值，此时补全的图形见解析．

【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠BOE的度数，再根据角的倍差求出∠BOD的度数，最后根据角的和差即可；

（2）先求出∠AOC的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，OF在OC的右侧，因此，分OE在OC左侧和右侧两种情况，再根据∠EOC=∠FOC列出等式求解即可；

（3）因本题中的角均为大于0°且小于180°的角，则需分OM与OB在一条直线上、ON与OB在一条直线上、OM与OA在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内∠BON和∠BOM的度数，即可得出答案。

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