2022-2023学年苏科版八年级上册数学第6章《一次函数》单元知识点

本资料来自专辑：2022-2023学年苏科版八年级上册数学单元知识点汇总

第6章 一次函数

一、变量与函数

1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．

2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．

注：自变量的取值范围的确定方法：

（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；

（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；

（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；

（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；

（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

3）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。

注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：

（1）有两个变量；

（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；

（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。

4）函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.

注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：y=x²中，当函数值为4时，自变量的值为±2.

二、函数的图象

1）函数的三种表示方法

①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。

②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。

③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。

2）函数的图象

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.

三、一次函数与正比例函数的概念

1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。

特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。

2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。

3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。

四、一次（正比例）函数的图象与性质

1）一次函数图象是一条直线；

2）已知两点可以作图，也可求出解析式；

3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）；

4）过象限、增减性

5）函数图象大小比较：

函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。

五、一次函数的平移与位置关系

1）一次函数与的位置关系：

两直线平行且两直线垂直

2）一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。

六、一次函数中的实际问题

1）数学建模的一般思路

数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.

2）正确认识实际问题的应用

在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.

注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.

3）选择最简方案问题

分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.

七、一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系

1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0

2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。

y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解

3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.

4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.

5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.

6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.

八、一次不等式与一次函数的关系

1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0）

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