专题04 线段与角的计算-备战2023-2024学年苏科版七年级数学上学期期末考试真题汇编

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专题04 线段与角的计算

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________

关键知识点：

第一节：直线、射线、线段

知识点1：概念

线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。

线段的画法：

（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况．

（2）以后我们说“连结”就是指画以A 、B 为端点的线段．

射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。如手电筒、探照灯射出的光线等。

射线的画法：画射线一要画出射线端点；二要画出射线经过一点，并向一旁延伸的情况．

直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。如笔直的铁轨等。

直线的画法：用直尺画直线，但只能画出一部分，不能画端点。

（1）知识点2：线段、直线、射线的表示方法：

点的记法：用一个大写英文字母

（2）线段的记法：①用两个端点的字母来表示②用一个小写英文字母表示

记作线段AB或线段BA，记作线段a，与字母顺序无关此时要在图中标出此小写字母

温馨提示：线段是直线（或射线）的一部分；2.线段不可向两方无限延伸，但可度量；3.延长线常化成虚线；4．延长线段AB是指按A到B的方向延长，延长线段BA是指按B到A的方向延长.

（3）射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面

记作射线OM，但不能记作射线MO

温馨提示：1．射线是直线的一部分；2．射线是像一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小；3．射线可作反向延长线，不存在射线的延长线。

（4）直线的记法：①用直线上两个点来表示②用一个小写字母来表示

记作直线AB或直线BA，记作直线l，与字母顺序无关。此时要在图中标出此小写字母

知识点3：线段、射线、直线的区别与联系：

联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得到直线，故射线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。

区别：直线可以向两方延伸，射线可以向一方无限延伸，线段不能延伸，三者的区别见下表：

知识点4：直线的基本性质（重点）

（1）经过一点可以画无数条直线

（2）经过两点只可以画一条直线

直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（也就是说：两点确定一条直线）

注：“确定”体现了“有”，又体现了“只有”。

经过点K可以画无数条直线经过点A、B只可以画一条直线

温馨提示：两条射线（或线段）未必一定有交点

知识点5：两点的距离

连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。它是线段的长度，是数量，不是线段本身

知识点6：两点的距离

连接所有两点的线中，线段最短，简述为两点之间，线段最短。

知识点7：线段的中点

如图，若点C将线段AB分为线段相等的两条线段AC和BC，则点C为线段AB的中点

温馨提示：1.一条线段的中点只有一个；2.某一点要成为线段的中点必须同时满足两个条件：点必须在这条线段上；它把这条线段分成相等的两条线段。

知识点8：线段的计数问题

根据表中规律可得到线段总数N与线段上点数n(包括线段的两个端点)存在着如下的关系

第二节：角——余角、补角

知识点1：角的定义

角是有两条具有公共顶点的射线组成的。两条射线的公共点叫做这个角的顶点。两条射线叫做角的两边。角也可以看成时一条射线绕它的顶点旋转而成的。

温馨提示：

1．因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关。

2．角的大小可以度量，也可以比较。

3．根据角的度数，角可以分成锐角、直角、钝角、平角和周角。

锐角：大于0°小于90°；直角：等于90°；钝角：大于90°小于180°；

平角：等于180°（不能说成平角就是一条直线）；周角：等于360°（不能说成周角就是一条射线）

4．两条射线组成的图形叫做角或者角是由一条射线旋转而成的，这两种说法都是错误的

知识点2：角的表示

通常用三个大写字母表示，表示顶点的字母在中间。●在不引起混淆的情况下，也可以用表示顶点的大写字母表示角。●也可以用希腊字母（α，β，γ）或数字表示角。

知识点3：角的度量

概念：以度、分、秒为基本单位的角的度量制，叫做角度制。

1°=60′，1′=60″，1°=3600″，1周角=360,1平角=180.

温馨提示：1.角的度、分、秒是60进制的。2.在进行度分秒运算时，由低级单位向高级单位转换或者由高级单位向低级单位转换，要逐级转换，不能越级。

知识点4：角平分线（见课本）

知识点5：角的计数问题

数角与之前数线段是同一类问题，同样可从角的顶点出发引出n条射线，共有角的个数为：

知识点6：余角、补角

余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角

补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角

性质：●同角或等角的余角相等。●同角或等角的补角相等。

温馨提示：●钝角没有余角；●互为余角和补角是两个角之间的关系；不能说他们3个角互补。●互为余角、补角只与角的度数有关，与角的位置无关，只要他们的度数等于90°或者180°，那一定互为余角或者补角。

知识点7：方向角

1．定义:一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度。

2．度量：方向角系分由南北起算，角度值在零度及九十度之间。

3．表示方式：在角度值之前冠以南北字样，其后则书出东西字样。

正北：北偏东0度或者北偏西0度。正南：南偏东0度或者南偏西0度。

正东：北偏东90度或者南偏东90度。正西：北偏西90度或者南偏西90度。

东北：北偏东45度。西北：北偏西45度。

东南：南偏东45度西南：南偏西45度

知识点8：时针、分针的夹角

（1）普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角；

（2）钟表上的每一个大格（时针的一小时或分针的5分钟）对应的角度是：

（3）时针每走过1分钟对应的角度应为：

（4）分针每走过1分钟对应的角度应为：

总结规律

从上述两例我们可以总结出规律如下：当分针在时针前面，可以先算出分针走过的角度，再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数；当分针在时针后面，可以先算出时针走过的角度，再减去分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。

用字母和公式表示：当时间为m点n分时，其时针与分针夹角的度数为：

依据此公式可以求出任意时刻时针与分针夹角的度数，计算起来非常便捷。如果题目中涉及到秒，我们可以先把秒换算为分，再套用上述规律和公式进行计算即可。

第三节：相交线与平行线

知识点1：直线的位置关系

在同一平面内直线与直线的位置关系只有两种：相交与平行。

知识点2：垂直

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足。

知识点3：垂直的性质

平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。（必须强调在同一平面内）

知识点4：垂线段最短

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简述为垂线段最短。

注：直线外一点到这条直线的垂线段只有一条。

知识点5：点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

知识点6：相交线中的角——对顶角

概念见课本

知识点7：对顶角性质

对顶角相等

温馨提示：

判断两个角是否互为对顶角关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是否为另一个角的两边的反向延长线。

对顶角也是成对出现的

两条直线相交所构成的四个角中，有两两对顶角。

若两个角互为对顶角，那么这两个角一定相等。反之若两个角相等，不一定是互为对顶角。

知识点8：平行线

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行符号“//”。

知识点9：平行公理

公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

一、单选题

1．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ）

A．①②                      B．①③                      C．②④                      D．③④

2．如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O₁PQ、△O₂PQ、…、△OnPQ、△On₊₁PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（    ）

A．不断变大          B．不断变小         C．先变小再变大         D．先变大再变小

3．如图，数轴上有两点A、B分别表示的数为1，2x+3，则数轴上表示数-x+2的点必然落在（    ）

A．点A的左边           B．线段AB上            C．点B的右边           D．与点A重合

4．把一副直角三角尺按如图所示的方式探放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（　　）

A．180°                      B．210°                      C．240°                      D．270°

5．下列说法错误的是（  ）

A．对顶角相等

B．同角（等角）的余角相等

C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

6．已知三条射线OA，OB，OC，OA⊥OC，∠AOB＝60°，则∠BOC等于（    ）

A．150°                      B．30°                        C．40°或140°             D．30°或150°

7．将直角三角板与直尺按如图位置摆放，直角顶点落在直尺的一条边上．则图中∠1与∠2的关系是（    ）

A．相等                      B．互余                      C．互补                      D．无法确定

8．钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为（    ）

A．90°                      B．45°                      C．50°                      D．75°

…………

23．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC＝70°，∠BOE=35°，

(1)∠DOE的度数；

(2)若OF平分∠AOD，射线OE与OF之间有什么位置关系？为什么？

24．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝2∶3，OF平分∠BOE．

(1)若∠BOD＝65°，求∠BOE．

(2)若∠AOE＝1/2∠BOF﹣10°，求∠COE．

…………

参考答案

一、单选题

1．C

【分析】根据两点确定一条直线，两点之间，线段最短进行逐一判断即可。

【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是因为两点确定一条直线，不符合题意；

②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设是因为两点之间，线段最短，符合题意；

③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是因为两点确定一条直线，不符合题意；

④把弯曲的公路改直，就能缩短路程是因为两点之间，线段最短，符合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，熟知相关定义是解题的关键．

2．C

【分析】作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，当点O运动到此点时三角形的周长最短，由此即可得出结论．

【详解】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O

…………