2022-2023学年七年级下册数学期中考点习题一遍过

2022-2023学年七年级下册数学期中考点习题一遍过

一、同底数幂的乘法

1．已知a³•a^m•a^2m+1＝a²⁵（a≠1，a≠0），求m的值_____．

2．如果a^c＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为2³＝8，所以（2，8）＝3

（1）根据上述规定，填空：

（3，27）＝_____，（4，1）＝_____（2，0.25）＝_____；

（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．

3．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为aⁿ，如2×2×2＝2³＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8＝3）．一般地，若aⁿ＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab＝n）．如3⁴＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81＝4）．

（1）计算下列各对数的值：log₂4＝_____；log₂16＝_____；log₂64＝_____．

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log₂4、log₂16、log₂64之间又满足怎样的关系式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

（4）根据幂的运算法则：aⁿ•a^m＝a^n+m以及对数的含义说明上述结论．

4．记M_（1）＝﹣2，M_（2）＝（﹣2）×（﹣2），M_（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M_（n）＝

（1）计算：M_（5）+M_（6）；

（2）求2M_（2015）+M_（2016）的值：

（3）说明2M_（n）与M_（n+1）互为相反数．

二、幂的乘方与积的乘方

5．规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果a^c＝b，那么a※b＝c．例如：因为3²＝9，所以3※9＝2．

（1）根据上述规定，填空：2※16＝_____，_____※36＝﹣2；

（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3ⁿ※4ⁿ＝3※4，小明给出了如下的证明；

设3ⁿ※4ⁿ＝x，则（3ⁿ）^x＝4ⁿ，即（3^x）ⁿ＝4ⁿ，

所以3^x＝4，即3※4＝x，

所以3ⁿ※4ⁿ＝3※4．

请你尝试运用这种方法解决下列问题：

①证明：5※7+5※9＝5※63；

②猜想：（x﹣2）ⁿ※（y+1）ⁿ+（x﹣2）ⁿ※（y﹣3）ⁿ＝_____※_____（结果化成最简形式）．

6．定义：如果2^m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．

（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝_____，D（16）＝_____．

（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．

根据运算性质，计算：

①若D（a）＝1，求D（a³）；

②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．

三、同底数幂的除法

7．计算：

（1）（m⁴）²+m⁵•m³+（﹣m）⁴•m⁴

（2）x⁶÷x³•x²+x³•（﹣x）²．

8．已知a^m＝6，aⁿ＝3，求a^2m﹣3n的值．

9．若5^x＝18，5^y＝3，则5^x﹣2y＝_____；若xⁿ＝5，yⁿ＝3，则（xy）²ⁿ＝_____；

若2x+3y﹣4＝0，则9^x•27^y的值为_____；若a^a﹣3＝1，则a＝_____．

四、多项式乘多项式

10．如果（x+m）（x﹣5）＝x²﹣3x+k，那么k、m的值分别是（　　）

A．k＝10，m＝2             B．k＝10，m＝﹣2      C．k＝﹣10，m＝2     D．k＝﹣10，m＝﹣2

11．若（ax+3）（6x²﹣2x+1）中不含x的二次项，则a的值为_____．

12．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x²+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x²﹣9x+10．

（1）求正确的a、b的值．

（2）计算这道乘法题的正确结果．

13．（1）填空：

（a﹣b）（a+b）＝___________；

（a﹣b）（a²+ab+b²）＝___________；

（a﹣b）（a³+a²b+ab²+b³）＝___________；

…

（a﹣b）（a²⁰²²+a²⁰²¹b+…+ab²⁰²¹+b²⁰²²）＝___________．

（2）猜想：

（a﹣b）（a^n﹣1+a^n﹣2b+…+ab^n﹣2+b^n﹣1）＝___________（其中n为正整数，且n≥2）．

（3）利用（2）中猜想的结论计算：2⁹﹣2⁸+2⁷﹣…+2³﹣2²+2．

五、完全平方公式的几何背景

14．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．

例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

（1）观察图②，请你写出（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系是___________；

（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，求（x﹣y）²的值；

[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．

（3）根据图③，写出一个代数恒等式：___________；

（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．

15．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．

（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式___________；

（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a²+5ab+6b²的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；

（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S₁，S₂．若S＝S₂﹣S₁，则当a与b满足___________时，S为定值，且定值为___________．（用含a或b的代数式表示）

六、完全平方式（共2小题）

16．如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（　　）

A．若a＝2b+1，则S＝16                                  B．若a＝2b+2，则S＝25      

C．若S＝25，则a＝2b+3                                  D．若S＝16，则a＝2b+4

17．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（x^m+yⁿ）．例如：＝1×19×3÷（2⁴+3¹）＝3．请根据这个规定解答下列问题：

（1）计算：＝___________；

（2）代数式为完全平方式，则k＝___________；

（3）解方程：＝6x²+7．

七、整式的混合运算—化简求值

18．先化简，再求值：a（a+6）﹣（a+3）（a﹣3）+（2a﹣1）²，其中a＝﹣1．

19．先化简，再求值：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）²]÷（2y），其中x＝1，y＝2．

八、因式分解–十字相乘法等

20．阅读下列材料，并解答相应问题：

对于二次三项式x²+2ax+a²这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）²的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：

x²+2ax﹣3a²＝x²+2ax+a²﹣a²﹣3a²＝（x+a）²﹣（2a）²＝（x+3a）（x﹣a）

（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是___________；

A．提公因式法  B．十字相乘法  C．配方法  D．公式法

（2）这种方法的关键是___________；

（2）用上述方法把m²﹣6m+8分解因式．

21．【教材呈现】以下是华师大版教材第50页16题：

已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x²+M+1是某个多项式的平方，求M．

【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：

当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方，

∵4x²+M+1＝（2x）²+M+12＝（2x±1）²，

∴M＝±2×2x^*1＝±4x；

当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于x²的二项式的平方，

∵4x²+M+1＝M+2×2x²•1+1²＝（2x²+1）²，

∴M＝4x⁴．

综上述，M为4x或﹣4x或4x⁴．

【解后反思】

①上述解答过程得到等式：4x²±4x+1＝（2x+1）²；4x⁴+4x²+1＝（2x²+1）²

观察等式左边多项式的系数发现：（±4）²＝4×4×1．

②结合多项式的因式分解又如：

16x²+24x+9＝（4x+3）²；9x²﹣12x+4＝（3x﹣2）²，

发现这两个多项式的系数规律：24²＝4×16×9，（﹣12）²＝4×9×4．

③一般地：若关于x的二次三项式ax²+bx+c（a、b、c是常数）是某个含x的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系．

（1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：　   　；

【解决问题】

（2）若多项式9y²+4加上一个含字母y的单项式N，就能表示为一个含y的二项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式N；

（3）若关于x的多项式x²﹣2（m﹣3）x+（m²+3m）是一个含x的多项式的平方，求实数m的值．

九、因式分解的应用

22．一个四位正整数J，将千位上的数字和十位上的数字交换，百位上的数字和个位上的数字交换，得

…………

参考答案

一、同底数幂的乘法

1．【考点】同底数幂的乘法．

【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算，再根据指数相等列式求解即可．

【解答】解：∵a³•a^m•a^2m+1＝a²⁵（a≠1，a≠0），

∴a^3+m+2m+1＝a²⁵，

∴3+m+2m+1＝25，

解得m＝7，

故填7．

2．【考点】同底数幂的乘法；有理数的混合运算．

【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；

（2）根据已知得出3^a＝5，3^b＝6，3^c＝30，求出3^a×3^b＝30，即可得出答案．

…………