第02讲 全等三角形-2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义（苏科版）

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2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义

第02讲 全等三角形

1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素。

2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题。

一、全等三角形

1．定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2．三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上。

3．三角形对应顶点、对应边、对应角

把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。

二、全等三角形的性质

（1）性质1：全等三角形的对应边相等

     性质2：全等三角形的对应角相等

说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等

②全等三角形的周长相等，面积相等

③平移、翻折、旋转前后的图形全等

（2）关于全等三角形的性质应注意

①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．

②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．

要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.

题型一：全等三角形概念

例1．能够完全重合的两个三角形叫做_______．

【变式1】把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上．

【变式2】如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边．写出其他对应边及对应角．

例2．关于全等三角形，下列说法正确的是（    ）

A．大小相等的三角形是全等三角形

B．面积相等的三角形是全等三角形

C．三个角对应相等的三角形是全等三角形

D．两个三角形全等，它们的形状一定相同

例3．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．

例4．如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是_____．

题型二：全等三角形性质

例5、如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，

（1）求DE的长．

（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？

【变式】下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（　 　）

A．3个                B．2个       C．1个            D．0个

例6、 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.

【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（    ）

A．1:2          B．1:3　    　　C．2:3       　D．1:4

一、选择题（共10小题）

1．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　）

A．2                          B．3                            C．4                          D．5

2．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，则DF长为（　　）

A．5                          B．8                            C．5或8                   D．7

3．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（　　）

A．20°                       B．40°                        C．70°                       D．90°

4．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（　　）

A．1cm                      B．2cm                        C．3cm                      D．4cm

5．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝3，则BD的长是（　　）

A．1.5                       B．2                            C．4                          D．6

6．如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（　　）

A．FC＝BD      B．EF平行且等于AB      C．AC平行且等于DE      D．CD＝ED

7．若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　）

A．30                        B．27                          C．35                        D．40

8．如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论：

①AM平分∠BMN；   ②∠CMN＝∠BAM；   ③∠MAC＝∠MNC

其中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①②                     B．②③                      C．①③                     D．①②③

9．如图，△ABD≌△ACE，若AE＝3，AB＝6，则CD的长度为（　　）

A．9                          B．6                            C．3                          D．2

10．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）

A．72°                       B．60°                        C．58°                       D．50°

二、填空题（共5小题）

11．如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为 　       　．

12．已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB＝5，BC＝4，AC＝　   　．

13．如图，△ABC≌△EDF，则AC的长为 　   　．

14．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 　       　．

15．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是　   　．

三、解答题（共13小题）

16．如图，△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，求DF的长．

17．如图，已知△ABF≌△CDE．

（1）若∠B＝45°，∠DCF＝25°，求∠EFC的度数；

（2）若BD＝10，EF＝5，求BF的长．

18．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，求∠E的度数．

19．如图，△ABC≌△DBE，点A、D、C在同一条直线上，且∠A＝60°，∠C＝35°，求∠DBC的度数．

20．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求：

（1）∠1的度数．

（2）AC的长．

21．如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．

22．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．

（1）求证：CE⊥AB；

（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．

23．如图，△ABO≌△CDO，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．试判断FB与ED的关系，并说明理由．

24．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．

（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；

（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．

25．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．

（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．

（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．

26．已知：如图，△ABC≌△DCB，AC、DB相交于点E．求证：AE＝DE．

27．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．

求证：（1）OA＝OB；   （2）AB∥CD．

28．如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

一、单选题

1．下列结论中正确的有（    ）

①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形周长相等；

④全等三角形面积相等．⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；

A．5个                       B．4个                       C．3个                       D．2个

…………

参考答案

题型一：全等三角形概念

例1．全等三角形

【变式1】对应顶点     对应边     对应角     对应顶点

【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空．

【详解】解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．

故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点．

【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容．

【变式2】其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．

【分析】根据全等三角形的概念，写出相对应的边和角即可．

【详解】解：∵△ABC≌△CDA，

∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念．

例2．D

【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可．

【详解】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；

B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；

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